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如图,AB为⊙O的直径,点C在上,点D在AB的延长线上于,且AC=CD,已知∠D=30°.(1)判断CD与⊙O的位置关系,请说明理由.(2)若弦CF⊥AB,垂足为E,

问题描述:

如图,AB为⊙O的直径,点C在上,点D在AB的延长线上于,且AC=CD,已知∠D=30°.
(1)判断CD与⊙O的位置关系,请说明理由.
(2)若弦CF⊥AB,垂足为E,且CF=,求图中阴影部分的面积.

网友答案:
解:(1)CD与⊙O相切
理由:连接OC,
∵AC=DC,∴∠A=∠D=30°
∵AO=CO,∴∠OCA=∠A=30°.
∠COD=60°,∴∠D+∠COD=90°,∴∠OCD=90°
∴OC⊥CD,∴CD与⊙O相切

(2)∵CF⊥AB,∴CE=CF=
在Rt△OCE中,sin60°=,OC=2
OE=1,-==
解析分析:(1)连接OC,根据题意可求得∠A=30°,则∠OCA=30°,则∠OCD=90°,从而证得CD与⊙O相切;
(2)可求得CE,再在Rt△OCE中,利用三角函数求出OC,OE,即可得出阴影部分的面积.

点评:本题是一道综合性题目,考查了切线的判定和性质以及三角形面积、扇形面积的计算,特殊角的三角函数等知识点,要熟练掌握.
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