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如图,已知AB是⊙O的直径,PA是⊙O的切线,过点B作BC∥OP交⊙O于点C,连接AC.(1)求证:△ABC∽△POA;(2)若AB=2,PA=,求BC的长.(结果保

问题描述:

如图,已知AB是⊙O的直径,PA是⊙O的切线,过点B作BC∥OP交⊙O于点C,连接AC.
(1)求证:△ABC∽△POA;
(2)若AB=2,PA=,求BC的长.(结果保留根号)

网友答案:
(1)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵PA是⊙O的切线,
∴∠OAP=90°.
∵BC∥OP,
∴∠AOP=∠CBA.
则△ABC∽△POA.

(2)解:∵AB是⊙O的直径,且AB=2,
∴OA=1.
∵在Rt△OAP中,PA=

∵由(1)可知△ABC∽△POA,

则BC=
∴求得BC=
解析分析:此题首先要掌握圆的性质,直径所对的圆周角是直角;根据切线的性质可得∠PAO=90°,根据平行线的性质,可得∠AOP=∠CBA,所以可证得△ABC∽△POA,根据相似三角形的性质,相似三角形的对应边成比例可求得BC的长.

点评:此题考查了相似三角形的判定和性质,①如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似;②如果两个三角形的两条对应边的比相等,且夹角相等,那么这两个三角形相似;③如果两个三角形的两个对应角相等,那么这两个三角形相似.
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