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如图,在直角梯形OABC中,已知B、C两点的坐标分别为B(8,6)、C(10,0),动点M由原点O出发沿OB方向匀速运动,速度为1单位/秒;同时,线段DE由CB出发沿

问题描述:

如图,在直角梯形OABC中,已知B、C两点的坐标分别为B(8,6)、C(10,0),动点M由原点O出发沿OB方向匀速运动,速度为1单位/秒;同时,线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动,速度为1单位/秒,交OB于点N,连接DM,过点M作MH⊥AB于H,设运动时间为t(s)(0<t<8).
(1)试说明:△BDN∽△OCB;
(2)试用t的代数式表示MH的长;
(3)当t为何值时,以B、D、M为顶点的三角形与△OAB相似?
(4)设△DMN的面积为y,求y与t之间的函数关系式.

网友答案:
解:(1)∵AB∥CO,
∴∠DBO=∠BOC,∠BDN=∠DEO,
∵线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动,
∴DE∥BC,
∴∠DEO=∠OCB,
∴∠BDN=∠OCB,
∴△BDN∽△OCB;

(2)直角梯形中OABC中,∠BAO=90°,MH⊥AB,
∴∠BHM=∠BAO=90°,OB==10,
∴MH∥AO,
∴△BHM∽△BAO,


∴MH=6-t;

(3)①若△BDM∽△BAO,


∴t=
②若△BDM∽△BOA,


∴t=
综上所述,当时,△BDM与△BOA相似;

(4)过点B作BG⊥OC于G,
∴BG=AO=6,

∵△BDN∽△OCB,



①当点M在ON上即0<t<5时,
y=S△DMN=S△BDM-S△BDN,
=
=
②当点M在BN上即5<t<8时,
y=S△DMN=S△BDN-S△BDM,
=t2-×t×(6-t),
=t2-3t.
解析分析:(1)根据平行线证明∠DBO=∠BOC,∠BDN=∠DEO=∠OCB,根据两组角对应相等两三角形相似即可证明△BDN∽△OCB;
(2)利用勾股定理求出OB的长为10,再表示出BM长为10-t,然后利用相似三角形对应边成比例得,代入求解即可;
(3)因为两三角形的对应边不明确,所以分BD与BA是对应边和BD与BO是对应边两种情况,根据相似三角形对应边成比例列式求解即可;
(4)先求出△OBC的面积为30,再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△BDN的面积,然后分点M在ON上时S△DMN=S△BDM-S△BDN和点M在BN上时S△DMN=S△BDN-S△BDM两种情况求出△DMN的面积.

点评:本题综合性较强,主要考查相似三角形的判定和相似三角形的性质,要注意分情况讨论.
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