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已知△ABC,以AC为边在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD.(1)如图1,若∠DAC=2∠ABC,△ACB≌△DAC,则∠ABC=______°;(2)如图2

问题描述:

已知△ABC,以AC为边在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD.
(1)如图1,若∠DAC=2∠ABC,△ACB≌△DAC,则∠ABC=______°;
(2)如图2,若∠ABC=30°,△ACD是等边三角形,AB=3,BC=4.求BD的长.

网友答案:
解:(1)∵AC=AD,
∴∠D=∠ACD,
∵△ACB≌△DAC,
∴∠DAC=∠ACB,∠B=∠BAC,
∵∠DAC=2∠ABC,
∴∠ACBT2∠ABC,
∴∠ABC=45°;…

(2)如图,以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAE=60°,
并在AE上取AE=AB,连接BE和CE.
∵△ACD是等边三角形,
∴AD=AC,∠DAC=60°.
∵∠BAE=60°,
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC.即∠EAC=∠BAD.
∴△EAC≌△BAD.…
∴EC=BD.
∵∠BAE=60°,AE=AB=3,
∴△AEB是等边三角形,
∴∠EBA=60°,EB=3.…
∵∠ABC=30°,
∴∠EBC=90°.
∵∠EBC=90°,EB=3,BC=4,
∴EC=5…
∴BD=5.…
解析分析:(1)由AC=AD得∠D=∠ACD,根据△ACB≌△DAC,可得∠ACB=2∠ABC,在△ABC中,由内角和定理求解;
(2)如图2,在△ABC外作等边△BAE,连接CE,利用旋转法证明△EAC≌△BAD,可证∠EBC=90°,BE=AB=3,在Rt△BCE中,由勾股定理求CE,由三角形全等得BD=CE.

点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理的运用.关键是根据已知条件构造全等三角形.
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