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如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是BC的中点,且∠B+∠ADC=90°,过点B、D作⊙O,使圆心D在AB上,⊙O交AB于点E.(1)求证:直线AD与⊙0相切

问题描述:

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是BC的中点,且∠B+∠ADC=90°,过点B、D作⊙O,使圆心D在AB上,⊙O交AB于点E.
(1)求证:直线AD与⊙0相切;
(2)若AC=6,求AE的长.

网友答案:
(1)证明:连接OD,DE,
∵OD=OB,
∴∠B=∠BDO,
∵∠B+∠ADC=90°,
∴∠ADC+∠BDO=90°,
∴∠ADO=180°-90°=90°,
∴OD⊥AD,
∵OD过圆心O,
∴直线AD与⊙0相切.

(2)解:∵∠B+∠ADC=90°,∠ADC+∠CAD=90°,
∴∠CAD=∠B,
∵∠C=∠C=90°,
∴△CAD∽△CBA,
=
∵D是BC中点,
∴CD=BC,
∴AC2=BC2,
∵AC=6,
∴BC=6
∴由勾股定理得:AB==6
∵BE是直径,∠C=90°,
∴∠BDE=∠C=90°,
∴DE∥AC,
∵D为BC中点,
∴E为AB中点,
∴AE=AB=3
答:AE的长是3
解析分析:(1)连接OD,根据已知得出∠CDA+∠BDO=90°,求出∠ADO=90°,根据切线的判定推出即可;(2)求出DE∥AC,推出DE是△ACB的中位线,推出AE=BE=AB,证△CAD∽△CBA,得出比例式,求出BC,根据勾股定理求出AB即可.

点评:本题考查了切线的判定,相似三角形的性质和判定,勾股定理,平行线分线段成比例定理等知识点的运用,(1)小题的关键是连接OD后证出OD⊥AD,(2)小题的关键是求出BC的长,题目比较好,有一定的难度.
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