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△ABC为等边三角形,D为射线BC上一点,∠ADE=60°,DE与∠ACB的外角平分线交于点E.(1)如图1,点D在BC上,求证:CA=CD+CE;(2)如图2,若D

问题描述:

△ABC为等边三角形,D为射线BC上一点,∠ADE=60°,DE与∠ACB的外角平分线交于点E.
(1)如图1,点D在BC上,求证:CA=CD+CE;
(2)如图2,若D在BC的延长线上,直接写出CA、CD、CE之间的数量关系,

网友答案:
证明:(1)在AC上截取CM=CD,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∴△CDM是等边三角形,
∴MD=CD=CM,∠CMD=∠CDM=60°,
∴∠AMD=120°,
∵∠ADE=60°,
∴∠ADE=∠MDC,
∴∠ADM=∠EDC,
∵DE与∠ACB的外角平分线交于点E,
∴∠ACE=60°,
∴∠DCE=120°=∠AMD,
在△ADM和△EDC中,

∴△ADM≌△EDC(ASA),
∴AM=EC,
∴CA=CM+AM=CD+CE;


(2)CA=CE-CD.
证明:在AC的延长线上截取CM=CD,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∴∠DCM=60°,
∴△CDM是等边三角形,
∴MD=CD=CM,∠CMD=∠CDM=60°,
∵DE与∠ACB的外角平分线交于点E,
∴∠ACE=∠DCE=60°,
∴∠ECD=∠AMD,
∵∠ADE=60°,
∴∠ADE=∠CDM,
∴∠ADM=∠EDC,
在△ADM和△EDC中,

∴△ADM≌△EDC(ASA),
∴AM=EC,
∴CA=AM-CM=CE-CD.
解析分析:(1)首先在AC上截取CM=CD,由△ABC为等边三角形,易得△CDM是等边三角形,继而可证得△ADM≌△EDC,即可得AM=EC,则可证得CA=CD+CE;
(2)首先在AC延长线上截取CM=CD,由△ABC为等边三角形,易得△CDM是等边三角形,继而可证得△ADM≌△EDC,即可得AM=EC,则可证得CA=CE-CD.

点评:此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
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