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设函数f(x)=|x-2|+|x-a|,x∈R(1)当a=1时,求不等式f(x)≤2的解集.(2)若f(x)≥a在R上恒成立,求实数a的最大值.

问题描述:

设函数f(x)=|x-2|+|x-a|,x∈R
(1)当a=1时,求不等式f(x)≤2的解集.
(2)若f(x)≥a在R上恒成立,求实数a的最大值.

网友答案:
解:(1)当a=1时,f(x)=|x-2|+|x-1|,
由x-2=0,得x=2;由x-1=0得x=1.
①当x≥2时,f(x)=x-2+x-1=2x-3≤2,解得2≤x≤
②当1≤x<2时,f(x)=2-x+x-1=1≤2,成立,故1≤x<2;
③当x<1时,f(x)=2-x+1-x=3-2x≤2,解得
综上所述不等式f(x)≤2的解集为{x|}.
(2)|x-2|+|x-a|表示的是在数轴上到2,a两点距离,距离最小值就是|a-2|,
若f(x)≥a对x∈R恒成立,
则只要满足|a-2|≥a,解得a≤1.
∴实数a的最大值是1.
解析分析:(1)当a=1时,f(x)=|x-2|+|x-1|,由此利用零点分段讨论法能求出不等式f(x)≤2的解集.
(2)|x-2|+|x-a|表示的是在数轴上到2,a两点距离,距离最小值就是|a-2|,若f(x)≥a对x∈R恒成立,则只要满足|a-2|≥a,由此能求出实数a的最大值.

点评:本题考查不等式的解集的求法,考查满足条件的实数的最大值的求法,解题时要认真审题,注意零点分段讨论法和绝对值的含义的合理运用.
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