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已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.

问题描述:

已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.

网友答案:
见解析解析本试题主要考查了二次方程根的问题的综合运用。运用反证法思想进行证明。先反设,然后推理论证,最后退出矛盾。证明:假设三个方程中都没有两个相异实根,则Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0,(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0.显然不成立。证明:假设三个方程中都没有两个相异实根,则Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0.相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0,(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0.                                     ①由题意a、b、c互不相等,∴①式不能成立.∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.
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