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在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,CD是斜边AB上的高,点E在斜边AB上,过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F,设AE=x,△AEF的面积为y.(1

问题描述:

在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,CD是斜边AB上的高,点E在斜边AB上,过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F,设AE=x,△AEF的面积为y.
(1)求线段AD的长;
(2)若EF⊥AB,当点E在线段AB上移动时,
①求y与x的函数关系式(写出自变量x的取值范围)
②当x取何值时,y有最大值?并求其最大值;
(3)若F在直角边BC上(点F与B、C两点均不重合),点E在斜边AB上移动,试问:是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分?若存在直线EF,求出x的值;若不存在直线EF,请说明理由.

网友答案:
解:(1)∵△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴AB==5,
∵CD⊥AB,
∴∠CDA=∠ACB,
又∠CAD=∠CAD,
∴Rt△ADC∽Rt△ACB,
=,即=,AD=

(2)①由于E的位置不能确定,故应分两种情况讨论:
如图A:当0<x≤AD,即0<x≤时,
∵EF⊥AB,
∴Rt△AEF∽Rt△ACB,即=
∵AC=3,BC=4,AE=x,
=,EF=x,
S△AEF=y=AE?EF=x?x=x2.
如图B:当AD<x≤AB,即<x≤5时,
∵EF⊥AB,
∴Rt△BEF∽Rt△BCA,
=
∵AE=x,△AEF的面积为y,=
∴EF=
y=×AE×EF=x?=-
②当如图A:当0<x≤AD,即0<x≤时,
S△AEF=y=AE?EF=x?x=x2,当x=AD,即x=时,y最大=×()2=
如图B:当AD<x≤BD,即<x≤5时,
y=(5-x)=-,y最大=,此时x=2.5<5,故成立.
故y最大=

(3)不存在.
根据题意可知:直线EF把△ABC的周长分为相等的两部分,
即AC+CF+AE=FB+EB,
又∵CF+FB=BC,
∴3+x+4-FB=FB+5-x,即FB=x+1,
∵sinB==
∴EF=FB?sinB=(x+1),
又∵直线EF把△ABC的面积分为相等的两部分,
∴S△EFB=EB?FE=S△ABC=3,
(5-x)?(x+1)=3,
化简得:x2-4x+5=0,
∵△=b2-4ac=16-20=-4<0,
∴此方程无解,
故不存在x,直线EF将△ABC的周长和面积同时平分.

解析分析:(1)先根据勾股定理求出AB的长,再根据Rt△ADC∽Rt△ACB,利用其相似比即可求出AD的长;
(2)①分别根据x的取值范围及三角形的面积公式分类可得x、y的函数关系式;
②根据①中所求的函数关系式求出其最值即可.
(3)先求得△ABC的面积的,进而得到△AEF得到面积的函数关系式,让它等于3列式即可求解.

点评:此题比较复杂,是典型的动点问题,涉及面较广,涉及到勾股定理、二次函数的最值及相似三角形的有关知识,综合性较强.
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