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如图,已知AB是⊙O的直径,CD是弦,AB⊥CD于点M,CE交AB的延长线于点E.(1)如果∠ECD=2∠A,求证:EC是⊙O的切线;(2)如果CD=8cm,BM=2

问题描述:

如图,已知AB是⊙O的直径,CD是弦,AB⊥CD于点M,CE交AB的延长线于点E.
(1)如果∠ECD=2∠A,求证:EC是⊙O的切线;
(2)如果CD=8cm,BM=2cm,求⊙O的半径r.

网友答案:
:(1)证明:连接CO,
∵圆心角∠BOC与圆周角∠A都对
∴∠BOC=2∠A,又∠ECD=2∠A,
∴∠ECD=∠BOC,
又∵∠BOC+∠OCM=90°,
∴∠ECD+∠OCM=90°,即∠OCE=90°,
∴EC是⊙O的切线;

(2)∵AB⊥CD,CD=8cm,
∴CM=CD=4cm,
设圆的半径为rcm,即OC=OB=rcm,
又∵MB=2cm,
∴OM=OB-MB=(r-2)cm,
在Rt△COM中,根据勾股定理得:CO2=CM2+OM2,
即r2=42+(r-2)2,
解得:r=5cm.
解析分析:(1)连接OC,利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍,得到∠BOC=2∠A,又∠ECD=2∠A,等量代换得到∠BOC=∠ECD,而在直角三角形OCM中,∠BOC+∠OCM=90°,等量代换得到∠ECD+∠OCM=90°,即∠OCE=90°,即可得到EC与圆O相切;
(2)由直径AB垂直于弦CD,利用垂径定理得到M为CD的中点,由CD求出CM的长,设半径为r,再由OB-MB表示出OM,在直角三角形OCM中,利用勾股定理列出关于r的方程,求出方程的解即可得到r的值.

点评:此题考查了切线的判断,圆周角定理,以及勾股定理,利用了方程的思想,切线的判定方法有两种:有点连接,证明垂直;无点作垂线,证明垂线段等于圆的半径.
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