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如图,在正方形ABCD中,AB=4,点E为BC的中点,F为边CD上的点,CF=1(1)求证:AE⊥EF;(2)求点B到直线AF的距离.

问题描述:

如图,在正方形ABCD中,AB=4,点E为BC的中点,F为边CD上的点,CF=1
(1)求证:AE⊥EF;
(2)求点B到直线AF的距离.

网友答案:
(1)证明:如图1,
∵在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,CF=1,
∴∠ABC=∠C=90°,AB:EC=BE:CF=2:1,
∴△ABE∽△ECF,
∴∠BAE=∠CEF,
又∵∠BAE+∠AEB=90°,
∴∠CEF+∠AEB=90°,
∴∠AEF=180°-(∠CEF+∠AEB)=90°,
∴AE⊥EF;

(2)解:如图2,连接BF,过点B作BG⊥AF于G.
∵CF=1,CD=4,∴DF=3.
在△ADF中,∵DF=3,AD=4,
∴由勾股定理得:AF=5.
∵S△ABF=AF?BG=S正方形ABCD-S△BCF-S△ADF,
×5×BG=42-×4×1-×4×3,
∴BG=
故点B到直线AF的距离
解析分析:(1)由题中条件,先根据两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似可得△ABE∽△ECF,再根据相似三角形对应角相等得出∠BAE=∠CEF,而∠BAE+∠AEB=90°,由等量代换、平角的定义及垂线的定义即可证明出AE⊥EF;
(2)过点B作BG⊥AF于G,则BG为所求.连接BF,根据S△ABF=AF?BG=S正方形ABCD-S△BCF-S△ADF,即可求解.

点评:本题主要考查了正方形的性质,点到直线的距离的定义,相似三角形的判定与性质,难度中等.(1)中证明出△ABE∽△ECF,是解题的关键,(2)中根据△ABF的面积不变列式是解题的关键.
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