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定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下面关于f(x)的判断:①f(x)是周期函数;??②f(x)在[0,1]上是增

问题描述:

定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下面关于f(x)的判断:
①f(x)是周期函数;??
②f(x)在[0,1]上是增函数;
③f(x)在[1,2]上是减函数;
④f(x)关于直线x=1对称.
其中正确判断的序号为________(写出所有正确判断的序号).

网友答案:
①④

解析分析:由f(x+1)=-f(x)可得f(x+2)=f(x),即可得周期T,可判断①;
由f(x)为偶函数且在[-1,0]上单增可得f(x)在[0,1]上的单调性,可判断②;
再根据周期函数的性质,且在[-1,0]上是增函数,推出y=f(x)的图象关于x=1对称,故f(x)在[1,2]上为增函数,可判断③④.

解答:由f(x+1)=-f(x)可得f(x+2)=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x),即可得周期T=2,故①正确;
由f(x)为偶函数且在[-1,0]上单增可得f(x)在[0,1]上是减函数,故②错;
由于f(x)在[0,1]上是减函数,
又∵f(x+2)=f(x)=f(-x),
∴y=f(x)的图象关于x=1对称,故f(x)在[1,2]上为增函数,f(2)=f(0),故③错,④正确.
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