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如图1,在锐角△ABC中,BC=9,AH⊥BC于点H,且AH=6,点D为AB边上的任意一点,过点D作DE∥BC,交AC于点E.设△ADE的高AF为x(0<x<6),以

问题描述:

如图1,在锐角△ABC中,BC=9,AH⊥BC于点H,且AH=6,点D为AB边上的任意一点,过点D作DE∥BC,交AC于点E.设△ADE的高AF为x(0<x<6),以DE为折线将△ADE翻折,所得的△A'DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y(点A关于DE的对称点A'落在AH所在的直线上).
(1)分别求出当0<x≤3与3<x<6时,y与x的函数关系式;
(2)当x取何值时,y的值最大,最大值是多少?

网友答案:
解:(1)①当0<x≤3时,由折叠得到的△A'ED落在△ABC内部如图(1),重叠部分为△A'ED
∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC

,即DE=x
又∵FA'=FA=x
∴y=DE?A′F=×x?x
∴y=x2(0<x≤3)
②当3<x<6时,由折叠得到的△A'ED有一部分落在△ABC外,如图(2),重叠部分为梯形EDPQ
∵FH=6-AF=6-x
A'H=A'F-FH=x-(6-x)=2x-6
又∵DE∥PQ
∴△A′PQ∽△A′DE

,PQ=3(x-3)
∴y=(DE+PQ)×FH
[x+3(x-3)]×(6-x)
∴y=-x2+18x-27(3<x<6);

(2)当0<x≤3时,y的最大值:y1=x2=×32=
当3<x<6时,由y=-x2+18x-27=-(x-4)2+9
可知:当x=4时,y的最大值:y2=9;
∵y1<y2,
∴当x=4时,y有最大值:y最大=9.
解析分析:(1)①当0<x≤3时,A′在三角形ABC内部,重合部分为三角形DA′E,因此只需求三角形ADE的面积即可.本题可先通过相似三角形ADE和ABC高的相似比求出DE的长,进而求三角形ADE的面积,也可直接根据三角形面积比等于相似比的平方来求三角形ADE的面积.
②当3<x<6时,此时A′落在三角形ABC外部,重合部分的面积可用三角形A′DE的面积即三角形ADE的面积-三角形A′PQ的面积求得.求法同①.
(2)根据(1)得出的函数的性质及自变量的取值范围可得出y的最大值及对应的x的值.

点评:本题考查了图形的翻折变换、图形面积的求法以及二次函数的应用等知识.
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