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如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,点D是弧BC的中点,PD切⊙O于点D(1)求证:DP⊥AP;(2)若PD=,PC=1,求图中阴影部分的面积(结果保留π)

问题描述:

如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,点D是弧BC的中点,PD切⊙O于点D
(1)求证:DP⊥AP;
(2)若PD=,PC=1,求图中阴影部分的面积(结果保留π)

网友答案:
解:(1)连接BC、OD,则∠ACB=90°(圆周角定理),
∵点D是弧BC的中点,
∴OD⊥BC,
∴OD∥AP,
又∵PD是⊙O切线,
∴∠OPD=90°,
∴∠P=90°,
∴DP⊥AP.

(2)连接OC、CD,
∵PD=,PC=1,
∴∠PDC==,CD==2,
∴∠PDC=30°,
∴∠CDO=60°,
∵OC=OD,
∴△OCD是等边三角形,
∴∠COD=∠DOB=∠AOC=60°,
∴△AOC是等边三角形,
∴AO=OC=AC=OD=CD=2,
则S阴影=S梯形ODPA-S△OCA-S扇形OCD=×(OD+AP)×PD--=--π=-π.
解析分析:(1)连接BC、OD,则可判断OD∥AP,再由切线的性质可得∠OPD=90°,继而得出结论;
(2)连接OC、CD,由题意可得∠PDC=30°,

点评:本题考查了切线的性质、垂径定理、扇形的面积计算及等边三角形的面积,综合考察的知识点较多,注意培养自己解答综合题的能力,将所学知识融会贯通.
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