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已知函数f(x)=x|x-1|-1.(1)求满足f(x)=x的x值;(2)写出函数f(x)的单调递增区间;(3)解不等式f(x)<0(结果用区间表示).

问题描述:

已知函数f(x)=x|x-1|-1.
(1)求满足f(x)=x的x值;
(2)写出函数f(x)的单调递增区间;
(3)解不等式f(x)<0(结果用区间表示).

网友答案:
解:(1),…
所以,当x≥1时,由f(x)=x得x2-x-1=x,x2-2x-1=0,解得
因为x≥1,所以.…
当x<1时,由f(x)=x得-x2+x-1=x,x2=-1,无实数解.…
所以,满足f(x)=x的x值为.…
(2)由
当x≥1时,f(x)的单调递增区间为[1,+∞);…
当x<1时,f(x)的单调递增区间为.…
所以,f(x)的单调递增区间是和[1,+∞).…
(3)当x≥1时,由x2-x-1<0得,…
当x<1时,由-x2+x-1<0得x2-x+1>0,恒成立.…
所以,不等式f(x)<0的解集为.…

解析分析:(1)讨论x的范围,将绝对值去掉得到分段函数,然后求解方程f(x)=x,即可求出满足条件的x;
(2)分段研究该函数的单调性,从而求出该函数的单调区间;
(3)当x≥1时,解不等式x2-x-1<0,当x<1时,由-x2+x-1<0得x2-x+1>0,恒成立,从而求出满足条件的x的范围.

点评:本题主要考查了含绝对值的函数的单调性以及解方程,同时考查了分段讨论的思想,属于中档题.
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