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已知函数f(x)=ax2+4x+b,其中a<0,a、b是实数,设关于x的方程f(x)=0的两根为x1,x2,f(x)=x的两实根为α、β.(1)若|α-β|=1,求a

问题描述:

已知函数f(x)=ax2+4x+b,其中a<0,a、b是实数,设关于x的方程f(x)=0的两根为x1,x2,f(x)=x的两实根为α、β.
(1)若|α-β|=1,求a、b满足的关系式;
(2)若a、b均为负整数,且|α-β|=1,求f(x)解析式;
(3)试比较(x1+1)(x2+1)与7的大小.

网友答案:
解:(1)∵f(x)=x,
∴ax2+4x+b=x,
α=,β=
∵|α-β|=1,
=|a|,
∴a2+4ab-9=0;
(2)∵a、b均为负整数,a2+4ab-9=0,
∴a(a+4b)=9,解得a=-1,b=-2.
∴f(x)=-x2+4x-2.
(3)∵关于x的方程f(x)=0的两根为x1,x2,
∴ax2+4x+b=0
∴x1x2=,x1+x2=-
∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=-+1.
-+1-7=
∵a<0,
当b>6a+4时,(x1+1)(x2+1)<7.
当b=6a+4时,(x1+1)(x2+1)=7.
当b<6a+4时,(x1+1)(x2+1)>7.
解析分析:(1)根据f(x)=x的两实根为α、β,可列出方程用a,b表示两根α,β,根据|α-β|=1,可求出a、b满足的关系式.
(2)根据(1)求出的结果和a、b均为负整数,且|α-β|=1,可求出a,b,从而求出f(x)解析式.
(3)因为关于x的方程f(x)=0的两根为x1,x2,用a和b表示出(x1+1)(x2+1),讨论a,b的关系可比较(x1+1)(x2+1)与7的大小的结论.

点评:本题考查二次函数的综合运用,考查了确定函数式,方程与函数的关系,以及求一元二次方程的求根公式的应用.
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