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已知一条抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,对称轴是x=.(1)求这条抛物线的关系式;(2)证明:这条抛物线与x轴的两个交点中,必存在点C,使得对x轴上任意点D

问题描述:

已知一条抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,对称轴是x=
(1)求这条抛物线的关系式;
(2)证明:这条抛物线与x轴的两个交点中,必存在点C,使得对x轴上任意点D都有AC+BC≤AD+BD.

网友答案:
(1)解:设所求抛物线的关系式为y=ax2+bx+c,
∵A(0,3),B(4,6),对称轴是直线x=

解得
∴y=

(2)证明:令y=0,得=0,

∵A(0,3),取A点关于x轴的对称点E,
∴E(0,-3),
设直线BE的关系式为y=kx-3,把B(4,6)代入上式,得6=4k-3,
∴k=
∴y=x-3,
x-3=0,
得x=
故C为,C点与抛物线在x轴上的一个交点重合,
在x轴上任取一点D,在△BED中,BE<BD+DE.
又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD,
∴AC+BC<AD+BD,
若D与C重合,则AC+BC=AD+BD,
∴AC+BC≤AD+BD.

解析分析:(1)先设出函数的解析式:y=ax2+bx+c,根据抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,用待定系数法求出函数的解析式;
(2)令y=0,得到方程,根据方程根与系数的关系求出抛物线与x轴的两个交点,再根据三角形任意两边之和大于第三边,来证明.

点评:(1)第一问主要考查用待定系数法求出函数的解析式,还运用了对称轴公式;
(2)此题主要考查一元二次方程与函数的关系,函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根,另外用到了三角形两边之和大于第三边这一定理.
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