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如图,在Rt△ABC中,AB=BC=6,点E,F分别在边AB,BC上,AE=3,CF=1,P是斜边AC上的一个动点,则△PEF周长的最小值为________.

问题描述:

如图,在Rt△ABC中,AB=BC=6,点E,F分别在边AB,BC上,AE=3,CF=1,P是斜边AC上的一个动点,则△PEF周长的最小值为________.

网友答案:
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解析分析:由于△PEF的周长=EF+PF+PE,而EF为定值,所以当PF+PE取最小值时,△PEF的周长最小.为此,作点B关于AC的对称点D,连接AD,CD,取AD的中点E′,连接E′F,与AC交于点P,此时PF+PE=E′F,值最小,然后在Rt△E′FG中利用勾股定理求解即可.

解答:解:如图,作点B关于AC的对称点D,连接AD,CD,则AC垂直平分BD,
又∵AB=BC,
∴BD平分AC,且AC=BD,
∴四边形ABCD是正方形.
取AD的中点E′,连接E′F,与AC交于点P.
∵E,E′关于AC对称,
∴PE=PE′,
此时PF+PE=PF+PE′=E′F,值最小.
过点F作FG⊥AD于G.
在Rt△E′FG中,∠E′GF=90°,FG=AB=6,GE′=3-1=2,
∴E′F===2
∵EF===
∴△PEF周长的最小值=EF+E'F=+2
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