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某地有一居民楼,窗户朝南,窗户的高度为h米,此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β(如图1),小明

问题描述:

某地有一居民楼,窗户朝南,窗户的高度为h米,此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β(如图1),小明想为自己家的窗户设计一个直角形遮阳篷BCD,要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光,又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.小明查阅了有关资料,获得了所在地区∠α和∠β的相应数据:∠α=24°36′,∠β=73°30′,小明又量得窗户的高AB=1.65米,若同时满足下面两个条件,
(1)当太阳光与地面的夹角为α时,要想使太阳光刚好全部射入室内;
(2)当太阳光与地面的夹角为β时,要想使太阳光刚好不射入室内.
请你借助下面的图形(如图2),帮助小明算一算,遮阳篷BCD中,BC和CD的长各是多少?(精确到0.01米)
以下数据供计算中选用sin24°36′=0.416,cos24°36′=0.909,tan24°36′=0.456,cot24°36′=2.184,sin73°30′=0.959,cos73°30′=0.284,tan73°30′=3.376,cot73°30′=0.296.

网友答案:
解:在Rt△BCD中,tan∠CDB=,∠CDB=∠α,
∴BC=CD?tan∠CDB=CD?tanα,
在Rt△ACD中,tan∠CDA=,∠CDA=∠β,
∴AC=CD?tan∠CDA=CD?tanβ,
∵AB=AC-BC=CD?tanβ-CD?tanα=CD(tanβ-tanα),
∴CD==≈0.57米,
∴BC=CD?tan∠CDB≈0.57×0.456≈0.26(米).
答:BC的长约为0.26米,CD的长约为0.57米.
解析分析:在直角三角形△BCD和△ACD,利用相应的三角函数用CD分别表示出AC、BC长,而AC-BC=AB,由此即可求得CD长,进而求得BD长.

点评:在解直角三角形的题目中,应先找到和所求线段相关的线段所在的直角三角形,然后确定利用什么形式的三角函数,最后解直角三角形即可求出结果.此题还需注意太阳光线是平行的,那么∠CDB=α.
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