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已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+2x经过点A(4,0),顶点为B.(1)求顶点B的坐标;(2)将这条抛物线向左平移后与y轴相交于点C,此时点A移动到点

问题描述:

已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+2x经过点A(4,0),顶点为B.
(1)求顶点B的坐标;
(2)将这条抛物线向左平移后与y轴相交于点C,此时点A移动到点D的位置,且∠DBA=∠CBO,求平移后抛物线的表达式.

网友答案:
解:(1)∵抛物线y=ax2+2x经过点A(4,0),
∴0=16a+8.
∴a=-
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x,
∴y=-x2+2x=-(x2-4x+22-4)=-(x-2)2+2.
顶点B的坐标为(2,2);

(2)解法一:设平移后抛物线的表达式为y=-x2+bx+c.
∵点B的坐标为(2,2),
∴AB=OB=2,∠BAD=∠BOC=45°.
又∵∠DBA=∠CBO,
∴△ABD≌△OBC.
∴AD=OC,即平移的距离为c.
∴点D的坐标为(4-c,0).
∴0=-(4-c)2+b(4-c)+c.
又∵平移后抛物线的对称轴为x=b.
∴b=2-c.
∴0=-(4-c)2+(2-c)(4-c)+c..
解得c=2或c=0(不符合题意,舍去).
∴平移后抛物线的表达式为y=-x2+2.
解法二:∵原抛物线表达式为y=-x(x-4),
∴设平移后抛物线表达式为y=-(x+m)(x-4+m)(m>0,向左平移的距离).
即y=-x2-(m-2)x-m2+2m.
∵B的坐标为(2,2),
∵AB=OB=2,∠BAD=∠BOC=45°,
又∵∠DBA=∠CBO,
∴△ABD≌△OBC.
∴AD=OC,即m=-m2+2m.解得m=2或m=0(不符合题意,舍去).
∴平移后抛物线的表达式为:y=-x2+2.

解析分析:(1)把点A(4,0)代入抛物线y=ax2+2x可求出a的值,进而可得出抛物线的表达式,把抛物线的表达式化为顶点坐标的形式即可得出B点坐标;
(2)设平移后抛物线的表达式为y=-x2+bx+c.由点B的坐标为(2,2)可得AB=OB,∠BAD=∠BOC=45°.再由全等三角形的判定定理可得出△ABD≌△OBC,故AD=OC,即平移的距离为c,所以点D的坐标为(4-c,0),所以0=-(4-c)2+b(4-c)+c,故平移后抛物线的对称轴为x=b,即b=2-c,代入抛物线的解析式即可求出c的值,故可得出结论.

点评:本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求二次函数的解析式、抛物线的平移等知识,难度较大.
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