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如图(1),一正方形纸板ABCD的边长为4,对角线AC、BD交于点O,一块等腰直角三角形的三角板的一个顶点处于点O处,两边分别与线段AB、AD交于点E、F,设BE=x

问题描述:

如图(1),一正方形纸板ABCD的边长为4,对角线AC、BD交于点O,一块等腰直角三角形的三角板的一个顶点处于点O处,两边分别与线段AB、AD交于点E、F,设BE=x.
(1)若三角板的直角顶点处于点O处,如图(2).求证:OE=OF;
(2)在(1)的条件下,若EF=,求x;
(3)若三角板的锐角顶点处于点O处,如图(3).
①若DF=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
②探究直线EF与正方形ABCD的内切圆的位置关系,并证明你的结论.

网友答案:
解:(1)∵正方形ABCD,
∴∠AOB=∠EOF=90°,BO=AO=OD,∠OAF=∠OBE=45°,
∴∠AOF=∠BOE,
∴△AOF≌△BOE,
∴OE=OF.

(2)由△AOF≌△BOE得BE=AF,AE=FD=4-x,连接EF;
∵AE2+AF2=EF2,

∴x2-4x+2=0,


(3)①∵∠EOF=∠OBE=45°,
∴∠FOD+∠EOB=∠BEO+∠EOB=135°,
∴∠FOD=∠BEO;
∵∠EBO=∠ODF=45°,
∴△BOE∽△DFO,


(2≤x≤4)
②连接EF,
由①知△BOE∽△DFO,

∵BO=DO,

∵∠EOF=∠OBE=45°,
∴△EOF∽△EBO,
∴∠FEO=∠OEB.
∴点O到EF、BE的距离相等,O到BE的距离即为正方形内切圆⊙O的半径,
∴直线EF与正方形的内切圆相切.
解析分析:(1)根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质证明△AOF≌△BOE,从而可得到结论;
(2)根据(1)的结论可以得到BE=AF,用x表示AE,然后利用勾股定理得到关于x的方程,解方程可以求出x;
(3)①由∠EOF=∠OBE=45°可得到∠FOD=∠BEO,证明△BOE∽△DFO,利用对应边成比例就可以求出函数关系式;
②连接EF,根据△BOE∽△DFO得到,而BO=DO,代入比例式中,再根据已知条件现在可以证明△EOF∽△EBO,从而得到∠FEO=∠OEB,然后根据角平分线的性质知道点O到EF、BE的距离相等,也就可以判断直线EF与正方形的内切圆相切了.

点评:此题主要考查正方形的性质,相似三角形的判定,直线与圆的关系等知识点的综合运用.
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