DP之矩阵连乘问题

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最优二叉查找树的一道思考习题

同最优二叉查找树一样,矩阵连乘问题也是一个卡特兰数问题(其动态规划的构造过程都很像)






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分析解答:


a,铺垫的数学知识


首先要搞清楚矩阵相乘是怎么乘的:

1)对于连续的n个矩阵相乘 A1 * A2 *A3.........An,其乘法顺序可以是任意的,可以在上面加括号,改变做乘法的顺序,例如 A*B*C三个矩阵相乘可以A*(B*C)

也可以直接按从左到右的顺序。连续的两个矩阵的位数必须满足m*p,p*n才能相乘,且相乘后的结果是个m*n的矩阵。(线性代数的知识)

2)对于2个m*p,p*n的矩阵相乘,共做乘法次数为 m*n*p 次。

这是预备知识,知道矩阵连续的乘法的运算次数跟运算顺序有关后,就很容易举出例子了,略。



b,卡特兰数个,证明很麻烦,有时间看了组合数学再来看


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c,重点是要解决这个问题。


设M[i , j]表示从第 i 个矩阵到第 j 个矩阵连乘的最少乘法次数,(i 从 0 编号),我们最终的目标是求 M[0 , n-1]。

Ai *.......Ak * Ak+1.....Aj

假设要得到这个式子的值(即从矩阵 i 连乘到矩阵 j),所作的最后一个矩阵乘法是在矩阵 k 后(注意准确的描述位置)断开的(即左右都已乘运算好),那么容易得到

其递推式:

M[i , j]  =  min{? M[i , k] + M[k+1 , j]  + di * dk+1 * dj+1}         i   <=   k   <=   j-1

其中 di 是矩阵 Ai 的第一维,dk+1是断开处矩阵 Ak 的第二维(即Ak+1的第一维,是一样的),dj+1是最后一个矩阵 Aj 的第二维。

得到这个式子也是一个逆向思维的过程。

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可以用矩阵连乘的动态规划构造过程与最优二叉查找树比较下,发现其构造非常相似(在前面一篇dp之什么叫做professional中提到过,不再详述)

实现:

初始条件:M[i , i] = 0

填表顺序:鉴于其递推式与最优二叉查找树相似,填表顺序也是按对角线的,自己画画就知道了。

代码也跟最优二叉查找树的控制逻辑相似:


package Section8;


/*第八章 动态规划 课后习题:矩阵连乘*/

public class MatEven {

/**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int[] Dim = {30,35,35,15,15,5,5,10,10,20,20,25};
int result = MatEven(Dim);

System.out.println("/n动态规划求的的最优策略相乘顺序导致的最少乘法数为:" + result);
}

public static int MatEven(int[] Dim){
//接受n个矩阵的维度数组Dim大小为2n
int n = Dim.length / 2; //有n个矩阵,编号0...n-1,编号为k的矩阵的维数是Dim[2k] * Dim[2k+1]

int[][] Result = new int[n][n]; //最小代价矩阵

//初始化
for(int i = 0;i < n;i++)
Result[i][i] = 0;

//沿对角线填矩阵
for(int d = 1;d <= n-1;d++) //共n-1条对角线需要填
{
for(int i = 0;i <= n-d-1;i++) //第d条对角线的第一个点横坐标为d
{
//int j = i - d;
int j = i + d; //在第d条对角线上的点,横纵坐标的关系是j = i + d

//这样就确定了一个位置(i,j)的坐标,然后来填(i,j)
int Min = 1000000000;
for(int k = i;k <= j-1;k++) //从第k个矩阵后面断开
{
//动态规划状态转移方程
int temp = Result[i][k] + Result[k+1][j] + (Dim[2*i] * Dim[2*k + 1] * Dim[2*j+1]);
if( temp < Min)
Min = temp;
}

Result[i][j] = Min;
}

}

return Result[0][n-1];
}
}


上面用一个数组接受一个连乘的矩阵的维数,

例如连乘的矩阵维数是:30*35 35*15 15*5 5*10 10*20 20*25

用动态规划求解得到的最佳乘法次数是:


动态规划求的的最优策略相乘顺序导致的最少乘法数为:15125

直接返回矩阵的话就可以得到整个M[i , j]的值

如果按照从左到右的顺序做乘法,是远远不止这个次数的。


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当然,再做一些处理,就还可以得到具体的次序,类似于最优二叉查找树,就是要记录动态规划产生的过程,略

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总结:


矩阵连乘问题是个卡特兰数问题

其动态规划的构造过程非常类似于最优二叉查找树

矩阵连乘的最有子结构是什么?





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