POJ3041-Asteroids

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解题思路:

把方阵看做一个特殊的二分图(以行列分别作为两个顶点集V1、V2,其中| V1|=| V2|)

然后把每行x或者每列y看成一个点,而障碍物(x,y)可以看做连接x和y的边。按照这种思路构图后。问题就转化成为选择最少的一些点(x或y),使得从这些点与所有的边相邻,其实这就是最小点覆盖问题。

 

再利用二分图最大匹配的König定理:

最小点覆盖数 = 最大匹配数

 

(PS:最小点覆盖:假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边,你需要选择最少的点来覆盖图的所有的边。)

 

因此本题自然转化为求 二分图的最大匹配 问题

 

 

求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部匹配,然后保留匹配数最多的。但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级函数。

因此,需要寻求一种更加高效的算法——增广路求最大匹配的方法(匈牙利算法)

 

增广路的定义(也称增广轨或交错轨):

若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径,并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现,则称P为相对于M的一条增广路径。

 

由增广路的定义可以推出下述三个结论:

1、P的路径个数必定为奇数,第一条边和最后一条边都不属于M。

2、将M和P进行取反操作可以得到一个更大的匹配M’

   (反操作:把P中的 匹配边 与 非匹配边 互换)

3、M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径P

 

匈牙利算法轮廓:

(1)置M为空

(2)找出一条增广路径P,通过异或操作获得更大的匹配M’代替M

(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止

 

 

 1 //Memory Time 
2 //464K 47MS
3
4 #include<iostream>
5 using namespace std;
6
7 int n,k; //n矩阵规格,k星体数量
8 int V1,V2; //二分图顶点集
9 /*矩阵的行列分别属于二分图的两个顶点集V1、V2,其中行x∈V1,列y∈V2*/
10 bool grid[501][501]; //存储数据方式:可达矩阵
11 bool vis[501]; //记录V2的点每个点是否已被搜索过
12 int link[501]; //记录 V2中的点y 在 V1中 所匹配的点x的编号
13 int m; //最大匹配数
14
15 /*Hungary Algorithm*/
16
17 bool dfs(int x)
18 {
19 for(int y=1;y<=V2;y++)
20 if(grid[x][y] && !vis[y]) //x到y相邻(有边) 且 节点y未被搜索
21 {
22 vis[y]=true; //标记节点y已被搜索
23 if(link[y]==0 || dfs(link[y])) //link[y]==0 : 如果y不属于前一个匹配M
24 { //find(link[y] : 如果被y匹配到的节点可以寻找到增广路
25 link[y]=x; //那么可以更新匹配M'(用M替代M')
26 return true; //返回匹配成功的标志
27 }
28 }
29 return false; //继续查找V1下一个x的邻接节点
30 }
31
32 void search(void)
33 {
34 for(int x=1;x<=V1;x++)
35 {
36 memset(vis,false,sizeof(vis)); //清空上次搜索时的标记
37 if(dfs(x)) //从V1中的节点x开始寻找增广路
38 m++;
39 }
40 return;
41 }
42
43 int main(void)
44 {
45 cin>>n>>k;
46 V1=V2=n;
47
48 int x,y; //坐标(临时变量)
49 for(int i=1;i<=k;i++)
50 {
51 cin>>x>>y;
52 grid[x][y]=true; //相邻节点标记
53 }
54
55 /*增广轨搜索*/
56
57 search();
58
59 /*Output*/
60
61 cout<<m<<endl;
62
63 return 0;
64 }

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