Scalaz(17)- Monad:泛函状态类型-State Monad

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  我们经常提到函数式编程就是F[T]。这个F可以被视为一种运算模式。我们是在F运算模式的壳子内对T进行计算。理论上来讲,函数式程序的运行状态也应该是在这个运算模式壳子内的,也是在F[]内更新的。那么我们就应该像函数式运算T值一样,也有一套函数式更新程序状态的方法。之前我们介绍了Writer Monad。Writer也是在F[]内维护Log的,可以说是一种状态维护方式。但Writer的Log是一种Monoid类型,只支持Semigroup的a|+|b操作,所以只能实现一种两段Log相加累积这种效果。WriterT的款式是这样的:

final case class WriterT[F[_], W, A](run: F[(W, A)]) { self =>

...

Writer是WriterT的一个F[_] >>> Id特例,那么它的款式也可以被视作这样:

final case class Writer[W, A](run: (W, A)) { self =>

注意这个(W,A)参数,这是一种典型的函数式编程状态维护方式。因为函数式编程强调使用不可变数据(immutable),所以维护状态的方式就是传入当前状态值W然后必须返回新的状态值。由于Writer是个Monad,通过flatMap可以把状态值W在运算之间连续下去。这点我们可以从WriterT的flatMap函数得出:

 def flatMap[B](f: A => WriterT[F, W, B])(implicit F: Bind[F], s: Semigroup[W]): WriterT[F, W, B] =

flatMapF(f.andThen(_.run))

def flatMapF[B](f: A => F[(W, B)])(implicit F: Bind[F], s: Semigroup[W]): WriterT[F, W, B] =

writerT(F.bind(run){wa =>

val z = f(wa._2)

F.map(z)(wb => (s.append(wa._1, wb._1), wb._2))

})

以上的flatMapF函数把上一个运算的W与下一个运算的W用Monoid操作结合起来s.append(wa._1,wb._1)。Writer类型款式的一个特点就是这个(W,A)返回类型,就是把状态和运算值传入再同时返回。不过对状态的操作只能局限在Monoid操作。曾经提到过Writer还可以被理解成一种特别的状态维护,只是目标锁定在了Log的更新。那么真正意义的状态类型State Monad又是怎样的呢?我们先看看State是怎样定义的:scalaz/package.scala

 type StateT[F[_], S, A] = IndexedStateT[F, S, S, A]

type IndexedState[-S1, S2, A] = IndexedStateT[Id, S1, S2, A]

/** A state transition, representing a function `S => (S, A)`. */

type State[S, A] = StateT[Id, S, A]

State是StateT的Id特殊案例,而StateT又是IndexedStateT的S1=S2特殊案例。那我们就从最概括的类型IndexedStateT开始介绍吧。下面是IndexedStateT的定义:scalaz/StateT.scala

trait IndexedStateT[F[_], -S1, S2, A] { self =>

/** Run and return the final value and state in the context of `F` */

def apply(initial: S1): F[(S2, A)]

/** An alias for `apply` */

def run(initial: S1): F[(S2, A)] = apply(initial)

/** Calls `run` using `Monoid[S].zero` as the initial state */

def runZero[S <: S1](implicit S: Monoid[S]): F[(S2, A)] =

run(S.zero)

/** Run, discard the final state, and return the final value in the context of `F` */

def eval(initial: S1)(implicit F: Functor[F]): F[A] =

F.map(apply(initial))(_._2)

/** Calls `eval` using `Monoid[S].zero` as the initial state */

def evalZero[S <: S1](implicit F: Functor[F], S: Monoid[S]): F[A] =

eval(S.zero)

/** Run, discard the final value, and return the final state in the context of `F` */

def exec(initial: S1)(implicit F: Functor[F]): F[S2] =

F.map(apply(initial))(_._1)

/** Calls `exec` using `Monoid[S].zero` as the initial state */

def execZero[S <: S1](implicit F: Functor[F], S: Monoid[S]): F[S2] =

exec(S.zero)

...

IndexedStateT的抽象函数是这个apply(initial:S1):F[(S2,A)],它的函数款式是:S1=>F[(S2,A)],意思是传入S1,把结果包在F里以F[(W,A)]返回。如果F[]=Id的话,那就是S1=>(S2,A)了。函数run就是apply,就是一种状态运算函数:传入状态S1,通过运算返回计算值A和新状态S2,并把结果包在F[(S2,A)]里。其它函数都是用来获取新的运算值或新状态的,如:eval返回F[A],exec返回F[S2]。值得注意的是这个F必须是Functor才行,因为我们必须用map才能在F[]内更新运算值或状态。当然,如果我们使用State类型的话,F就是Id,那么run=>(s,a),eval=>a,exec=>s。与Writer比较,State Monad通过一个状态运算函数功能要强大得多了,运用也要灵活许多。

我们再来看看IndexedStateT的map,flatMap:

 def map[B](f: A => B)(implicit F: Functor[F]): IndexedStateT[F, S1, S2, B] = IndexedStateT(s => F.map(apply(s)) {

case (s1, a) => (s1, f(a))

})

def flatMap[S3, B](f: A => IndexedStateT[F, S2, S3, B])(implicit F: Bind[F]): IndexedStateT[F, S1, S3, B] = IndexedStateT(s => F.bind(apply(s)) {

case (s1, a) => f(a)(s1)

})

特别注意flatMap:F必须是Monad,这样就可以在连接两个IndexedStateT时先后运行它们的状态运算函数S1=>F[(S2,A)],即:apply(s)和f(a)(s1)。

如果不出意料的话,IndexedStateT的构建方式就是传入一个状态运算函数S1=>F[(S2,A)]:

object IndexedStateT extends StateTInstances with StateTFunctions {

def apply[F[_], S1, S2, A](f: S1 => F[(S2, A)]): IndexedStateT[F, S1, S2, A] = new IndexedStateT[F, S1, S2, A] {

def apply(s: S1) = f(s)

}

}

传入的函数f实现了抽象函数run使IndexedStateT实例化。

State Monad应该需要一套读写、传递状态的方法。这些方法可以在MonadState trait里找到:scalaz/MonadState.scala

trait MonadState[F[_,_],S] extends Monad[({type f[x]=F[S,x]})#f] {

def state[A](a: A): F[S, A] = bind(init)(s => point(a))

def constantState[A](a: A, s: => S): F[S, A] = bind(put(s))(_ => point(a))

def init: F[S, S]

def get: F[S, S]

def gets[A](f: S => A): F[S, A] = bind(init)(s => point(f(s)))

def put(s: S): F[S, Unit]

def modify(f: S => S): F[S, Unit] = bind(init)(s => put(f(s)))

}

object MonadState {

def apply[F[_,_],S](implicit F: MonadState[F, S]) = F

}

MonadState是个抽象类型,因为它继承了Monad类但并没有实现Monad的抽象函数point和bind。所以这些状态维护函数必须在MonadState子类实例存在的情况下才能使用。这个情况在object MonadState里的apply函数的隐式参数F可以推断得出。IndexedStateT就是MonadState的子类,所以通过IndexedStateT的实例来施用状态运算函数是没用什么问题的。以下是这些操作函数的实现:

private trait StateTMonadState[S, F[_]] extends MonadState[({type f[s, a] = StateT[F, s, a]})#f, S] {

implicit def F: Monad[F]

def bind[A, B](fa: StateT[F, S, A])(f: A => StateT[F, S, B]): StateT[F, S, B] = fa.flatMap(f)

def point[A](a: => A): StateT[F, S, A] = {

lazy val aa = a

StateT(s => F.point(s, aa))

}

def init: StateT[F, S, S] = StateT(s => F.point((s, s)))

def get = init

def put(s: S): StateT[F, S, Unit] = StateT(_ => F.point((s, ())))

override def modify(f: S => S): StateT[F, S, Unit] = StateT(s => F.point((f(s), ())))

override def gets[A](f: S => A): StateT[F, S, A] = StateT(s => F.point((s, f(s))))

}

我们现在可以尝试一些简单的State Monad使用案例,先试着模仿一个数字堆栈(Integer Stack)操作:

1 type Stack = List[Int]

2 def pop: State[Stack, Int] = State { case h::t => (t,h) }

3 //> pop: => scalaz.State[Exercises.stateT.Stack,Int]

4 def push(a: Int): State[Stack, Unit] = State { xs => (a :: xs, ()) }

5 //> push: (a: Int)scalaz.State[Exercises.stateT.Stack,Unit]

pop和push操作结果都是State,State是Monad,这样我们就可以用for-comprehension来演示具体操作了:

 1 val prg = for {

2 _ <- push(1)

3 _ <- push(2)

4 _ <- push(3)

5 a <- pop

6 b <- get

7 _ <- pop

8 _ <- put(List(9))

9 } yield b //> prg : scalaz.IndexedStateT[scalaz.Id.Id,Exercises.stateT.Stack,List[Int],E

10 //| xercises.stateT.Stack] = [email protected]

11 prg.run(List()) //> res2: scalaz.Id.Id[(List[Int], Exercises.stateT.Stack)] = (List(9),List(2,

12 //| 1))

prg只是一段功能描述,因为状态运算函数是个lambda: s => (s,a)。这里s是个未知数,它在for loop里逐层传递下去。运算结果需要通过运行run函数并提供初始状态值List()后才能获取,也就是说真正的运算是在运行run时才开始的。我们称run为程序prg的翻译器(interpreter),这是函数式编程的典型模式,这样可以把具体运算延到最后。

我们再看看如何读写状态:

 1 val prg = for {

2 _ <- push(1)

3 _ <- push(2)

4 _ <- push(3)

5 a <- pop

6 b <- get //(s,s)

7 c <- gets { s:Stack => s.length} //(s,s.length)

8 _ <- pop

9 _ <- put(List(9)) //(List(9),a)

10 _ <- modify {s:Stack => s ++ List(10) } //(List(9,10),a)

11 } yield c //> prg : scalaz.IndexedStateT[scalaz.Id.Id,Exercises.stateT.Stack,List[Int],I

12 //| nt] = [email protected]

13 prg.run(List()) //> res2: scalaz.Id.Id[(List[Int], Int)] = (List(9, 10),2)

实际上在StateT里已经实现了filter函数,可以看看下面的例子:

1 val prg1 = for {

2 _ <- push(1)

3 _ <- push(2)

4 _ <- push(3)

5 a <- pop

6 b <- if (a == 3 ) put(List(1,2,3)) else put(List(2,3,4))

7 } yield b //> prg1 : scalaz.IndexedStateT[scalaz.Id.Id,Exercises.stateT.Stack,List[Int],

8 //| Unit] = [email protected]

9 prg1.run(List()) //> res4: scalaz.Id.Id[(List[Int], Unit)] = (List(1, 2, 3),())

因为StateT实现了MonadPlus实例:scalaz/StateT.scala

private trait StateTMonadStateMonadPlus[S, F[_]] extends StateTMonadState[S, F] with StateTHoist[S] with MonadPlus[({type λ[α] = StateT[F, S, α]})#λ] {

implicit def F: MonadPlus[F]

def empty[A]: StateT[F, S, A] = liftM[F, A](F.empty[A])

def plus[A](a: StateT[F, S, A], b: => StateT[F, S, A]): StateT[F, S, A] = StateT(s => F.plus(a.run(s), b.run(s)))

}

当然,这个StateT的F必须是MonadPlus实例。liftM能把Monad生格成StateT:

 def liftM[G[_], A](ga: G[A])(implicit G: Monad[G]): StateT[G, S, A] =

StateT(s => G.map(ga)(a => (s, a)))

IndexedStateT还有一个挺有趣的函数lift。在FP风格里lift总是起到搭建OOP到FP通道的作用。我们先来看个例子:

 

1 def incr: State[Int,Int] = State { s => (s+1,s)}//> incr: => scalaz.State[Int,Int]

2 incr.replicateM(10).evalZero[Int] //> res3: List[Int] = List(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

 

从运算结果来看还是正常的。但如果我这样用:

 incr.replicateM(10000).runZero[Int] //> java.lang.StackOverflowError

啊!StackOverflowError。解决堆栈溢出其中一个方法是使用Trampoline结构,以heap换stack。Trampoline就是Free Monad的一个特殊案例,我们后面会详细介绍Free Monad。现在可以用lift把F[(S2,A)]升格成M[F[(S2,A)]]:

 def lift[M[_]: Applicative]: IndexedStateT[({type λ[α]=M[F[α]]})#λ, S1, S2, A] = new IndexedStateT[({type λ[α]=M[F[α]]})#λ, S1, S2, A] {

def apply(initial: S1): M[F[(S2, A)]] = Applicative[M].point(self(initial))

}

我们可以把State返回类型升格成为Trampoline,就像这样:

1  import scalaz.Free.Trampoline

2 incr.lift[Trampoline].replicateM(10).evalZero[Int]

3 //> res4: scalaz.Free[Function0,List[Int]] = Gosub()

现在看看解决了StackOverflowError问题没有:

 import scalaz.Free.Trampoline

incr.lift[Trampoline].replicateM(10000).evalZero[Int].run.take(5)

//> res4: List[Int] = List(0, 1, 2, 3, 4)

问题解决。注意上面的表达式后面加多了一个run指令,这是因为现在返回的类型已经是Trampoline了。再看另外一个例子,我们用State在List里添加行号:

1 def zipIndex[A](xs: List[A]): List[(A, Int)] =

2 xs.foldLeft(State.state[Int,List[(A,Int)]](List()))(

3 (acc, a) => for {

4 xn <- acc

5 n <- get[Int]

6 _ <- put[Int](n+1)

7 } yield (a,n) :: xn).evalZero.reverse //> zipIndex: [A](xs: List[A])List[(A, Int)]

8

9 zipIndex(1 |-> 5) //> res5: List[(Int, Int)] = List((1,0), (2,1), (3,2), (4,3), (5,4))

同样,我也可以把返回类型升格成Trampoline:

 1 def zipIndex[A](xs: List[A]): List[(A, Int)] =

2 xs.foldLeft(State.state[Int,List[(A,Int)]](List()))(

3 (acc, a) => for {

4 xn <- acc

5 n <- get[Int]

6 _ <- put[Int](n+1)

7 } yield (a,n) :: xn).lift[Trampoline].evalZero.run.reverse.take(10)

8 //> zipIndex: [A](xs: List[A])List[(A, Int)]

9

10 zipIndex(1 |-> 1000) //> res5: List[(Int, Int)] = List((1,0), (2,1), (3,2), (4,3), (5,4), (6,5), (7,

11 //| 6), (8,7), (9,8), (10,9))

看起来可以升格到Trampoline,但实际上还没有解决StackOverflowError问题。这个细节就留在后面我们讨论Free Monad时再研究吧。

作为一种惯例,我们还是看看scalaz提供的用例有什么值得注意的:scalaz-example/StateTUsage.scala

object StateTUsage extends App {

import StateT._

def f[M[_]: Functor] {

Functor[({type l[a] = StateT[M, Int, a]})#l]

}

def m[M[_]: Monad] {

Applicative[({type l[a] = StateT[M, Int, a]})#l]

Monad[({type l[a] = StateT[M, Int, a]})#l]

MonadState[({type f[s, a] = StateT[M, s, a]})#f, Int]

}

def state() {

val state: State[String, Int] = State((x: String) => (x + 1, 0))

val eval: Int = state.eval("")

state.flatMap(_ => state)

}

}

哇塞!这是什么地干活?我只能无奈的告诉你:其实什么也没干,可以在即时编译器里看看:

 import Scalaz._

import scala.language.higherKinds

def f[M[_]: Functor] {

Functor[({type l[a] = StateT[M, Int, a]})#l]

} //> f: [M[_]](implicit evidence$2: scalaz.Functor[M])Unit

def m[M[_]: Monad] {

Applicative[({type l[a] = StateT[M, Int, a]})#l]

Monad[({type l[a] = StateT[M, Int, a]})#l]

MonadState[({type f[s, a] = StateT[M, s, a]})#f, Int]

} //> m: [M[_]](implicit evidence$3: scalaz.Monad[M])Unit

def state() {

val state: State[String, Int] = State((x: String) => (x + 1, 0))

val eval: Int = state.eval("")

state.flatMap(_ => state)

} //> state: ()Unit

f[List]

m[List]

state

全部返回Unit。我想它只是示范了如何取得一些type class的StateT实例吧。我们知道,获取了一些type class的StateT实例后就可以对StateT施用这些type class的方法函数了。下面是如何获取这些实例以及简单的type class函数引用:

 1 //Functor实例

2 val fs = Functor[({type l[a] = StateT[List, Int, a]})#l]

3 //> fs : scalaz.Functor[[a]scalaz.IndexedStateT[[+A]List[A],Int,Int,a]] = scala

4 //| [email protected]

5 State[Int,Int] {s => (s+1,s)} //> res0: scalaz.State[Int,Int] = [email protected]

6 val st = StateT[List, Int, Int](s => List((s,s)))//> st : scalaz.StateT[List,Int,Int] = [email protected]

7 fs.map(st){a => a + 1}.run(0) //> res1: List[(Int, Int)] = List((0,1))

8 //MonadState实例

9 val ms = MonadState[({type f[s, a] = StateT[List, s, a]})#f, Int]

10 //> ms : scalaz.MonadState[[s, a]scalaz.IndexedStateT[[+A]List[A],s,s,a],Int] =

11 //| [email protected]

12 ms.state(1).run(0) //> res2: List[(Int, Int)] = List((0,1))

13 //Monad实例

14 val monad = Monad[({type l[a] = StateT[List, Int, a]})#l]

15 //> monad : scalaz.Monad[[a]scalaz.IndexedStateT[[+A]List[A],Int,Int,a]] = scal

16 //| [email protected]

17 monad.bind(st){a => StateT(a1 => List((a1,a)))}.run(0)

18 //Applicative实例 //> res3: List[(Int, Int)] = List((0,0))

19 val ap = Applicative[({type l[a] = StateT[List, Int, a]})#l]

20 //> ap : scalaz.Applicative[[a]scalaz.IndexedStateT[[+A]List[A],Int,Int,a]] = s

21 //| [email protected]

22 ap.point(0).run(0) //> res4: List[(Int, Int)] = List((0,0))

这个state()函数呢?更是摸不着头脑,可能纯是从类型匹配方面示范吧。我们看看它的内里都干了什么:

1 // def state() {

2 //构建一个State实例。每次它的状态会加个!符号

3 val state: State[String, Int] = State((x: String) => (x + "!", 0))

4 //> state : scalaz.State[String,Int] = [email protected]

5 //运算值不变

6 val eval: Int = state.eval("") //> eval : Int = 0

7 //连续两次运行状态运算函数。加两个!

8 state.flatMap(_ => state).run("haha") //> res0: scalaz.Id.Id[(String, Int)] = (haha!!,0)

9 // }

那么StateTUsage.scala里其它例子呢?又离不开什么List,Tree,ADT...,太脱离现实了。还是介绍些实际点的例子吧。最好能把在现实应用中如何选择使用State的思路过程示范一下。曾经看到过一个例子是这样的:查询一个网页的跟帖人信息;维护一个cache,存储5分钟内查过的信息;如果在cache里不存在就从数据库里读取,同时更新cache。我们用伪代码来示范。由于我们选择immutable cache,所以按FP惯用方式传入当前cache,返回新cache:

trait Cache

trait FollowerState

def followerState(user: String, cache: Cache): (Cache, FollowerState) = {

val (c1,ofs) = checkCache(user,cache) //检查cache里有没有user资料

//c1是新cache,更新了hit或miss count

ofs match { //在cache里找到否

case Some(fs) => (c1,fs) //找到就返回fs和新cache c1

case None => retrieve(user,c1) //找不到就从数据库里重新读取

}

}

//检查cache,更新cache hit/miss count

def checkCache(user: String, cache: Cache): (Cache, Option[FollowerState]) = ...

//从数据库读取user资料,更新加入cache

def retrieve(user: String, cache: Cache): (Cache, FollowerState) = ...

这个cache不就是一种状态嘛。我们现在需要考虑怎么在上面的函数里使用State Monad来维护这个cache。我们先耍点手段,来点函数款式变形(transformation):

def followerState(user: String, cache: Cache): (Cache, FollowerState)

def followerState(user: String)(cache: Cache): (Cache, FollowerState)

def followerState(user: String): Cache => (Cache, FollowerState)

先用curry分开参数,再部分施用(partially apply)就形成了新的函数款式。其它两个函数也一样:

def checkCache(user: String): Cache => (Cache, Option[FollowerState]) = ...

def retrieve(user: String): Cache => (Cache, FollowerState) = ...

现在followerState可以这样写:

def followerState(user: String): Cache => (Cache, FollowerState) = cache => {

val (c1,ofs) = checkCache(user,cache)

ofs match {

case Some(fs) => (c1,fs)

case None => retrieve(user,c1)

}

}

现在这个Cache=>(Cache,FollowerState)不就是一个状态运算函数嘛,Cache是状态,FollowerState是运算值。我们把它包嵌在State内:

def followerState(user: String): State[Cache,FollowerState] = State {

cache => {

val (c1,ofs) = checkCache(user,cache)

ofs match {

case Some(fs) => (c1,fs)

case None => retrieve(user,c1)

}

}

}

如果把其它函数款式也调整过来,都返回State类型:

def checkCache(user: String): State[Cache,Option[FollowerState]] = ...

def retrieve(user: String): State[Cache,FollowerState] = ...

那么我们可以用for-comprehension:

def followerState(user: String): State[Cache,FollowerState] = for {

optfs <- checkCache(user)

fs <- optfs match {

case Some(fs) => State{ s => (s, fs) }

case None => retrieve(user)

}

} yield fs

程序看来简明很多。我们可以这样调用获取查询结果:

followerState("Johny Depp").eval(emptyCache)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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