【数据分析 R语言实战】学习笔记 第六章 参数估计与R实现(下)

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6.3两正态总体的区间估计

(1)两个总体的方差已知

 

在R中编写计算置信区间的函数twosample.ci()如下,输入参数为样本x, y,置信度α和两个样本的标准差。

> twosample.ci=function(x,y,alpha,sigma1,sigma2){

+ n1=length(x);n2=length(y)

+ xbar=mean(x)-mean(y)

+ z=qnorm(1-alpha/2)*sqrt(sigma1^2/n1+sigma2^2/n2)

+ c(xbar-z,xbar+z)

+ }


 

前面介绍的Z检验函数z.test()可以在两总体方差已知的情况下,计算两总体均值差的置信区间,分别用参数sigma.x和sigma.y来说明已知的标准差数值即可。

例:

Bamberger's是一家为社区提供大众性商品的零传商店,为了努力维持商店的良好声誉,公司实施了将营业时间延长至夜间的计划。以Bamberger's延长营业时间前后27个典型周的销售额数据为例(以万元为单位),计算这两个样本均值差的区间估计,从而可以看出计划实施后的效果。首先查看数据的基本类型,并绘制直方图对比。

> sales=read.table("D:/Program Files/RStudio/sales.txt",header=T)

> head(sales)

prior post

1 67.90 86.10

2 76.12 71.13

3 68.64 116.25

4 74.94 102.60

5 63.32 97.51

6 50.43 65.39

> attach(sales)

> par(mfrow=c(1,2))

> hist(prior) #分别绘制计划前后销售额的直方图

> hist(post)


 

从直方图可以看出,销售额样本大致呈正态分布,假设已知计划实施前后的总体标准差分别为8和12,调用上面写好的函数,计算样本均值差在置信水平为1-a下的置信区间

> twosample.ci(post,prior,alpha=0.05,8,12)

[1] 19.10298 29.98295

> z.test(post,prior,sigma.x=8,sigma.y=12)$conf.int

[1] 19.10298 29.98295

attr(,"conf.level")

[1] 0.95


区间估计的结果是,Bamberger's公司延长营业时间后周营业额明显增加,增加额的范围是[19.10, 29.98]

(2)两个总体的方差未知但相等

 

正如计算单.正态总体均值的置信区间,R中的函数t.test()还可以用来求两总体均值差的置信区间,山于总体方差相等,需要将其中的参数var.equal设为TRUE。

> t.test(post,prior,var.equal=TRUE)$conf.int

[1] 18.66541 30.42051

attr(,"conf.level")

[1] 0.95


由计算结果同样可以得到结论:Barnberger's公司延长营业时间后周营业额明显增加,在0.95的置信水平下,营业额增加的置信区间是[18.67,30.42]

(3) 两个总体的方差未知且不等

 

R中也没有直接的函数可用,仍需要手动写出一个函数twasarnple.ci2()

> twosample.ci2=function(x,y,alpha){

+ n1=length(x);n2=length(y)

+ xbar=mean(x)-mean(y)

+ S1=var(x);S2=var(y)

+ nu=(S1/n1+S2/n2)^2/(S1^2/n1^2/(n1-1)+S2^2/n2^2/(n2-1))

+ z=qt(1-alpha/2,nu)*sqrt(S1/n1+S2/n2)

+ c(xbar-z,xbar+z)

+ }


在实际分析中,两总体的方差未知且不等是最常见的情况,在Bamberger's公司的案例中如果延长营业时间前后的方差未知并且不相等,就要通过上面编写的函数计算样本均位差的置信区间:

> twosample.ci2(post,prior,0.05)

[1] 18.63821 30.44771


相比之前,营业时间延长后的样本均值明显增加,两样本均值差的置信区问为[18.64, 30.45]由于方差未知,在做区间估计时可利用的信息更少,因此在相同置信水平下,这时估计得到的置信区间相对更宽一些。

6.3.2两方差比的区间估计

 

方差比的区问估计与方差的假设检验密不可分,所以R中的函数var.test()可以用来直接计算两正态总体方拾比的置信区间,调用格式如下:

var.test(x, y, ratio = 1,

alternative = c("two.sided", "less", "greater"),

conf.level = 0.95, ...)

> var.test(prior,post)$conf.int

[1] 0.1772458 0.8534348

attr(,"conf.level")

[1] 0.95


通过函数var.test()计算后的结果可以看出,两样本方差比在95%置信水平下的区间估计为[0.1772, 0.8534],这说明延长营业额后,周营业额的波动性变大。

6.4关于比率的区间估计

 

比率的估计在R中实现起来也比较简单,函数prop.test()可以直接完成对P的估计和检验,其调用格式为

prop.test(x, n, p = NULL,

          alternative = c("two.sided", "less", "greater"),

          conf.level = 0.95, correct = TRUE)

其中,参数x为具有某种特征的样本个数;n为样本量;P设置假设检验时原假设的比率值;correct是逻辑值,设置是否应用Yates连续性修正,默认为TRUE

例:

某市为了解居民住房情况,抽查了n=2000户家庭,其中人均不足5平米的困难户有x=214个,通过样本信息计算该市困难户比率P的置信区间(置信度为0.95)

> prop.test(214,2000)

1-sample proportions test with continuity

correction

data: 214 out of 2000, null probability 0.5

X-squared = 1234, df = 1, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5

95 percent confidence interval:

0.09396256 0.12157198

sample estimates:

p

0.107


比率检验函数的计算结果表明,在95%的置信水平下,困难户比率的区间估计为[0.0940,0.1216],而最后一行的P值给出的是点估计,该市困难户比率为0.107

事实上,当样本数足够多时,x服从超儿何分布,上面我们用的是正态分布近似,但当抽样比很小时还可以用二项分布来近似,这时用到的函数是二项式检验binom.test(),其调用格式如下,内部参数与prop.test()一致。在上例中,如果该市的总人口数较大,那么抽样比很小,就应当用二项分布近似:

> binom.test(214,2000)

Exact binomial test

data: 214 and 2000

number of successes = 214, number of trials =

2000, p-value < 2.2e-16

alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5

95 percent confidence interval:

0.09378632 0.12137786

sample estimates:

probability of success

0.107


二项式检验的结果表明,在95%的置信水平下,困难户比率的区间估计为[0.0938, 0.1214],这与修正正态近似的结果非常接近,点估计值仍为0.107

 


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